Question

19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=8，AE=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，继而求得直径与半径．

解答 （1）证明：∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEC，
∴△BCE∽△DAE，
∴AE：CE=DE：BE，
∴3：4=4：BE，
解得：BE=$\frac{16}{3}$，
∴AB=AE+BE=$\frac{25}{3}$，
∴⊙O的半径为：$\frac{25}{6}$．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．