如图1.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.D为CB上一点.且满足CD=CA.连接AD．过点C作CE⊥AB于点E．(1)若AB=10.BD=2.求CE的长,(2)如图2.若点F是线段CE延长线上一点.连接FD.若∠F=30°.求证:CF=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF,(3)如图3.设D为BC延长线上一点.其它条件不变.直线CE与直线AD交于点F.若∠F=30°.请直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为CB上一点，且满足CD=CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E．
（1）若AB=10，BD=2，求CE的长；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F=30°，求证：CF=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF；
（3）如图3，设D为BC延长线上一点，其它条件不变，直线CE与直线AD交于点F，若∠F=30°，请直接写出线段CF，AE，DF之间的关系，不需要说明理由．

分析（1）如图1中，设AC=CD=x．利用勾股定理列出方程求出x，再根据$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CE，求出CE即可．
（2）如图2中，作DH⊥CF于H．于△ACE≌△CDH，推出AE=CH，在Rt△DHF中，由∠DHF=90°，∠F=30°，推出HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，即可证明CF=CH+FH=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF．
（3）结论：CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．如图3中，作DH⊥FC于H．由△DCH≌△CAE，推出AE=CH，在Rt△DHF中，由∠DHF=90°，∠F=30°，推出HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
即可证明CF=FH-CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．

解答（1）解：如图1中，设AC=CD=x．

在Rt△ACB中，AB=10，AC=x，BC=CD+BD=x+2，
∵AB²=AC²+BC²，
∴10²=x²+（x+2）²，
解得x=6或-8（舍弃），
∴AC=6．
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CE，
∴CE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

（2）证明：如图2中，作DH⊥CF于H．

∵∠ACD=∠AEC=∠DHC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAE=∠DCH，
在△ACE和∠CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DCH}\\{∠AEC=∠DHC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CDH，
∴AE=CH，
在Rt△DHF中，∵∠DHF=90°，∠F=30°，
∴HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
∴CF=CH+FH=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF．

（3）解：结论：CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．
理由：如图3中，作DH⊥FC于H．

同法可证△DCH≌△CAE，
∴AE=CH，
在Rt△DHF中，∵∠DHF=90°，∠F=30°，
∴HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
∴CF=FH-CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．