Question

20．已知：AB∥CD∥EF，E为AC中点，AC∥BD，如图1所示，易证2EF=AB+CD
（1）若AC与BD不平行，其它条件不变，如图2、图3，则在图2、图3两种情况下，线段EF，AB，CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并对其中一种情况给予证明；
（2）若∠C=∠D=60°，AB=3，EF=6，则AB与CD之间的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）作BH∥AC交CD于H，交EF于G，由已知得到2EG=AB+CH，根据三角形中位线定理得到GF=$\frac{1}{2}$DH，计算即可；
（2）作BR∥AC交CD于R，作BP⊥CD于P，根据平行四边形的性质得到CR=AB=3，求出RB，根据等边三角形的判定和性质解答即可．

解答 （1）如图2，2EF=AB+CD，
证明：作BH∥AC交CD于H，交EF于G，
由已知得，2EG=AB+CH，
∵AB∥CD∥EF，E为AC中点，
∴F是BD的中点，
∴GF是△BFD的中位线，
∴GF=$\frac{1}{2}$DH，
∴EF=EG+GF=$\frac{1}{2}$（AB+CH）+$\frac{1}{2}$DH，
∴2EF=AB+CD，
如图3，2EF=CD-AB；
（2）如图4，作BR∥AC交CD于R，作BP⊥CD于P，
∴四边形ACRB是平行四边形，
∴CR=AB=3，
∴RD=CD-CR=3，
∵∠C=60°，BR∥AC，
∴∠BRD=∠C=60°，又∠D=60°，
∴△BRD是等边三角形，
∴BP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AB与CD之间的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是梯形的中位线定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．