Question

10．如图，一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$图象交于A（-2，1）、B（n，-2）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=mx图象交于A（-2，1）、B（n，-2）两点，可以根据点A先求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，从而可以求出一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可以直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）根据一次函数解析式可以求得直线AB与x的交点，△AOB的面积是直线AB与x的交点的横坐标的绝对值与点A的纵坐标的绝对值除以2与直线AB与x的交点的横坐标的绝对值与点B的纵坐标的绝对值除以2的和，从而可以求得△AOB的面积．

解答 解：（1）∵一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$图象交于A（-2，1）、B（n，-2）两点，
∴1=$\frac{m}{-2}$得m=-2，
∴反比例函数的解析式为：${y}_{2}=\frac{-2}{x}$，
将y=-2代入$y=\frac{-2}{x}$得，x=1，
∴点B的坐标为（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为：y₁=-x-1，
由上可得，反比例函数的解析式为：${y}_{2}=\frac{-2}{x}$，一次函数的解析式为：y₁=-x-1；
（2）∵A（-2，1）、B（1，-2），
∴由函数图象可知，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是x＜-2或0＜x＜1；
（3）∵y₁=-x-1，
∴y₁=0时，x=-1，
∴${S}_{△AOB}=\frac{1×1}{2}+\frac{1×|-2|}{2}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，
即△AOB的面积是$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．