Question

11．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC：BC=2：3，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由SSS证明△PBO≌△PAO，得出∠PBO=∠PAO=90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，证出OC是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出AD=2OC，由已知设OC=2t，则BC=3t，AD=4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．

解答 （1）证明：连接OA，如图1所示：
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\\{OB=OA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2所示：
∵BD是直径，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，
∵BC=AC，OB=OD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴AD=2OC，
∵OC：BC=2：3，
设OC=2t，则BC=3t，AD=4t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴$\frac{BC}{OC}=\frac{PC}{BC}$，即$\frac{3t}{2t}=\frac{PC}{3t}$，
∴PC=$\frac{9}{2}$t，OP=$\frac{13}{2}$t．
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$=$\frac{8}{13}$，
设EA=8m，EP=13m，则PA=5m．
∵PA=PB，
∴PB=5m，
∴sinE=$\frac{PB}{EP}$=$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的判定，能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题（2）的关键．