Question

已知抛物线y=x²-7x+10与x轴的交于A、B两点（A在B点左侧），抛物线上一点P的横坐标为4，则在抛物线AP段（不包括A、P点）上是否存在一点M，使得△MAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：作MH⊥x轴于H，交AP于N，先解方程x²-7x+10=0确定A点坐标为（2，0），B点坐标为（5，0），再确定P点坐标为（4，-2），然后利用待定系数法确定为直线AP的解析式为y=-x+2，设M点坐标为（x，x²-7x+10），则N点坐标为（x，-x+2），则MN=-x²+6x-8，接着得到S_△APM=S_△MNA+S_△MNP=

1

2

•（4-2）•（-x²+6x-8），于是可根据二次的最值问题进行求解．

解答：解：存在．
如图，作MH⊥x轴于H，交AP于N，
把y=0代入y=x²-7x+10得x²-7x+10=0，解得x₁=2，x₂=5，
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（5，0），
把x=4代入y=x²-7x+10得y=16-28+10=-2，
∴P点坐标为（4，-2），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
把A（2，0）、P（4，-2）代入得

2k+b=0 4k+b=-2

，解得

k=-1 b=2

，
∴直线AP的解析式为y=-x+2，
设M点坐标为（x，x²-7x+10），则N点坐标为（x，-x+2），
∴MN=-x+2-（x²-7x+10）=-x²+6x-8，
∴S_△APM=S_△MNA+S_△MNP=

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2

•（4-2）•（-x²+6x-8）=-x²+6x-8=-（x-3）²+1，
∴当x=3时，△MAP的面积最大值为1，
把x=3代入y=x²-7x+10得y=9-21+10=-2，
∴此时M点坐标为（3，-2）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．