Question

15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过点S（0，6）和点T（8，6），ST的垂直平分线交抛物线于点B．交x轴交于点C，以BC为直径作⊙P，交y轴于点A，M（点A在点M的下方）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求出点A的坐标；
（3）如图2，在射线AB上有一动点D，在直线BC上有一动点E，若△ACD的重心为F，且以点A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）把S（0，6）和点T（8，6）的坐标代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c，转化为解方程组即可．
（2）如图1中，作AH⊥BC于H，则四边形OAHC是矩形，OA=HC，AH=OC．首先证明点B是抛物线的顶点，B（4，10），C（4，0），设OA=HC=x，再证明△AHC∽△BHC，可得AH²=CH•BH，即16=x（10-x），解方程即可解决问题．
（3）如图2中，延长AF交CD于N，连接AE、CD．首先求出直线AB的解析式为y=2x+2，设D（m，2m+2），由F是△ADC的内心，推出点N是CD的中点，推出N（m+2，m+1），推出AF=2FN，推出点F的横坐标为$\frac{2}{3}$（m+2），因为四边形ADEN是平行四边形，所以线段DF的中点的横坐标与线段AE的中点的横坐标相同，都是2，可得$\frac{m+\frac{2}{3}（m+2）}{2}$=2，解得m=$\frac{8}{5}$，再想办法求出点F的坐标即可解决问题．

解答 解：（1）把S（0，6）和点T（8，6）的坐标代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=6}\\{-16+8b+c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+2x+6，．

（2）如图1中，作AH⊥BC于H，则四边形OAHC是矩形，OA=HC，AH=OC．

∵S、T关于对称轴x=4对称，BC垂直平分线段ST，
∴点B是抛物线的顶点，B（4，10），C（4，0），设OA=HC=x
∵BC是直径，
∴∠BAC=∠AHB=90°，
∴∠CAH+∠BAH=90°，∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠CAH=∠ABH，∵∠AHC=∠AHB=90°，
∴△AHC∽△BHC，
∴AH²=CH•BH，
∴16=x（10-x），
解得x=2或8（舍弃），
∴点A坐标（0，2）．

（3）如图2中，延长AF交CD于N，连接AE、CD．

∵A（0，2），B（4，10），
∴直线AB的解析式为y=2x+2，设D（m，2m+2），
∵F是△ADC的重心，
∴点N是CD的中点，
∴N（m+2，m+1），
∵AF=2FN，
∴点F的横坐标为$\frac{2}{3}$（m+2），
∵四边形ADEN是平行四边形，
∴线段DF的中点的横坐标与线段AE的中点的横坐标相同，都是2，
∴$\frac{m+\frac{2}{3}（m+2）}{2}$=2，
解得m=$\frac{8}{5}$，
∴D（$\frac{8}{5}$，$\frac{26}{5}$），N（$\frac{18}{5}$，$\frac{13}{5}$），
∴直线AN的解析式为y=$\frac{1}{6}$x+2，
∴F（$\frac{12}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴AF=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}-2）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{37}}{5}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的重心、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时想办法构建方程解决问题，属于中考压轴题．