Question

19．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出A与B坐标，令x=0求出y的值确定出C的做准备，进而求出对称轴即可；
（2）①根据B与C坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，进而表示出E与P坐标，根据抛物线解析式确定出D与F坐标，表示出PF，利用平行四边形的判定方法确定出m的值即可；
②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，求出OB的长，三角形BCF面积等于三角形BFP面积加上三角形CFP面积，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出S取得最大值时m的值即可．

解答 解：（1）对于抛物线y=-x²+2x+3，
令x=0，得到y=3；
令y=0，得到-x²+2x+3=0，即（x-3）（x+1）=0，
解得：x=-1或x=3，
则A（-1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；
（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3），
令y=-x²+2x+3中x=1，得到y=4，
∴D（1，4），
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴线段DE=4-2=2，
∵0＜m＜3，
∴y_F＞y_P，
∴线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，
由-m²+3m=2，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），
则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；
②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，
∵S=S_△BPF+S_△CPF=$\frac{1}{2}$PF•BM+$\frac{1}{2}$PF•OM=$\frac{1}{2}$PF（BM+OM）=$\frac{1}{2}$PF•OB，
∴S=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m（0＜m＜3），
则当m=$\frac{3}{2}$时，S取得最大值．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．