Question

10．正方形ABCD中，点E是射线AB上一动点，点F是线段BC延长线上一动点，且AE=CF，
（1）如图1，连接DE、DF，若正方形的边长为4，AE=3，求EF的长？
（2）如图2，连接AC交EF与G，求证：AC=$\sqrt{2}$AE+2CG；
（3）如图3，当点E在AB延长线上时，AE=CF仍保持不变，试探索线段AC、AE、CG之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意分别求出BE、BF的长，根据勾股定理计算即可；
（2）作EH∥BC交AC于H，根据正方形的性质得到∠BAC=45°，根据勾股定理得到AH=$\sqrt{2}$AE，根据平行线分线段成比例定理得到HC=2CG，得到答案；
（3）作EP∥BC交AC的延长线于P，与（2）的方法类似，证明即可．

解答 （1）解：∵正方形的边长为4，AE=3，
∴BE=4-3=1，
∵AE=CF，
∴CF=3，
∴BF=BC+CF=7，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=5$\sqrt{2}$；
（2）证明：如图2，作EH∥BC交AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴AH=EH=$\sqrt{2}$AE，
∵AE=CF，
∴EH=CF，又EF∥CF，
∴HG=CG，即HC=2CG，
∴AC=AH+HC=$\sqrt{2}$AE+2CG；
（3）AC=$\sqrt{2}$AE-2CG．
证明：如图3，作EP∥BC交AC的延长线于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴AP=EP=$\sqrt{2}$AE，
∵AE=CF，
∴EP=CF，又EF∥CF，
∴PG=CG，即PC=2CG，
∴AC=AP-PC=$\sqrt{2}$AE-2CG．

点评 本题考查的是正方形的性质、平行线分线段成比例定理以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．