Question

2．如图，抛物线y=a（x-1）²+$\sqrt{2}$（a≠0）经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，过D作DF∥BC交x轴于F点，则DF的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设点B的坐标为（m，a（m-1）²+$\sqrt{2}$），点C坐标为（n，0），由AD平分△ABO的面积可知点D为线段OB的中点，结合DF∥BC可知DF是△OBC的中位线，即DF=$\frac{1}{2}$BC，用两点间的距离公式表示出线段BC的长度，根据实数的平方非负可找出BC的最小值，从而得出结论．

解答 解：设点B的坐标为（m，a（m-1）²+$\sqrt{2}$），点C坐标为（n，0）．
∵点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，
∴OD=BD，
又∵DF∥BC，
∴DF是△OBC的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC．
根据两点间的距离公式可知：
BC²=（m-n）²+$[a（m-1）^{2}+\sqrt{2}]^{2}$=（m-n）²+a²（m-1）⁴+2$\sqrt{2}$a（m-1）²+2，
结合抛物线开口向上可知a＞0，
∴（m-n）²≥0，a²（m-1）⁴≥0，2$\sqrt{2}$a（m-1）²≥0，
∴BC²≥2，
∴BC=$\sqrt{2}$．
∵DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的应用、两点间距离公式以及实数的平方非负，解题的关键是根据实数的平方非负找出线段BC的最小值．本题属于中档题，难度不大，巧妙的利用了两点间的距离公式寻找最值，两点间的距离公式虽说高中知识，单在初中阶段我们已经经常用到，此处使用给做题带来了极大的方便，故在日常做题中应适度的增加该部分的练习．