Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-（m-1）x-m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当S_△ABC=15时，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于-8，求k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）对于抛物线解析式，令y=0得到关于x的方程，求出方程的解，根据A在B的左侧且m大于0，求A的坐标即可；
（2）由（1）的结果表示出B的坐标，根据抛物线与y轴交于点C，表示出C坐标，进而表示出AB与OC，由三角形ABC面积为15，利用三角形面积公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出抛物线解析式；
（3）由（2）中m的值确定出C坐标，设直线l解析式为y=kx+b，把C坐标代入求出b的值，抛物线解析式配方后，经判断得到当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于-8，令y=-8求出x的值，确定出抛物线经过点（3，-8），把（3，-8）代入一次函数解析式求出k的值，由图象确定出满足题意k的范围即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-（m-1）x-m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，即x²-（m-1）x-m=0，
解得：x₁=-1，x₂=m，
又∵点A在点B左侧，且m＞0，
∴点A的坐标为（-1，0）；

（2）由（1）可知点B的坐标为（m，0），
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-m），
∵m＞0，
∴AB=m+1，OC=m，
∵S_△ABC=15，
∴

1

2

m（m+1）=15，即m²+m-30=0，
解得：m=-6或m=5，
∵m＞0，
∴m=5；
则抛物线的表达式为y=x²-4x-5；

（3）由（2）可知点C的坐标为（0，-5），
∵直线l：y=kx+b（k＜0）经过点C，
∴b=-5，
∴直线l的解析式为y=kx-5（k＜0），
∵y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为-9，不符合题意；
当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于-8，
令y=-8，即x²-4x-5=-8，
解得：x₁=1（不合题意，舍去），x₂=3，
∴抛物线经过点（3，-8），
当直线y=kx-5（k＜0）经过点（3，-8）时，可求得k=-1，
由图象可知，当-1＜k＜0时新函数的最小值大于-8．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，抛物线与x轴的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．