Question

□ABCD中，点E是BC上的一动点（不与点B、C重合），点F是CD上的一动点（不与点B、C重合）．
（1）如图1，若AE=AF，求证：CE=CF．
（2）如图2，若∠BAE=30°，∠DAF=15°，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图3，若∠EAF=45°，连结BD，交AE于M、交AF于N，请探究BM、MN、DN之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=BC=CD=AD，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，从而得证；
（2）将△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABH，根据旋转的性质可得AH=AF，BH=DF，∠BAH=∠DAF，然后求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用“边角边”证明△AEF和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得EH=EF，再根据EH=BE+BH等量代换即可得证；
（3）将△ADN绕点A逆时针旋转90°得到△ABK，根据旋转的性质可得AN=AK，BK=DN，∠BAK=∠DAN，∠ABK=∠ADN=45°，然后求出∠MAN=∠MAK=45°，再利用“边角边”证明△AMN和△AMK全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MK，再求出∠MBK=90°，然后利用勾股定理列式即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE=AF AB=AD

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，
即CE=CF；

（2）如图，将△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，AH=AF，BH=DF，∠BAH=∠DAF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEH中，

AH=AF ∠EAH=∠EAF=45° AE=AE

，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF，
∵EH=BE+BH，
∴EF=BE+DF；

（3）如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得到△ABK，
由旋转的性质得，AN=AK，BK=DN，∠BAK=∠DAN，∠ABK=∠ADN=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAN=∠MAK=45°，
在△AMN和△AMK中，

AN=AK ∠MAN=∠MAK=45° AM=AM

，
∴△AMN≌△AMK（SAS），
∴MN=MK，
∵∠MBK=∠ABD+∠ABK=45°+45°=90°，
∴BM²+BK²=MK²，
∴BM²+DN²=MN²．

点评：本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作辅助线构造出全等三角形．