Question

6．如图，AB∥CD，E点在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：
（1）EB=EC；
（2）AB+CD=AD．（用两种方法）

Answer 1

分析 （1）延长AE，DC交于M，由平行线的性质得出∠DAB+∠ADC=180°，∠BAE=∠CME，由ASA证明△ADE≌△MDE，得出AE=ME，再由ASA证明△ABE≌△MCE，得出对应边相等即可；
（2）方法一：由全等三角形的性质得出AB=CM，证出∠CME=∠DAE，得出AD=DM，即可得出结论；
方法二：延长DE与AB的延长线交于一点F，由AAS证明△DCE≌△FBE，得出BF=DC，DE=EF，证出AD=AF，即可得出结论．

解答 证明：（1）延长AE，DC交于M，如图1所示：
∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，∠BAE=∠CME，
∵AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90゜=∠DEM，
在△ADE和△MDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠MDE}\\{DE=DE}\\{∠AED=∠DEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MDE（ASA），
∴AE=ME，
在△ABE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠MEC}\\{AE=ME}\\{∠BAE=∠CME}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴EB=EC；
（2）方法一：由（1）知：△ABE≌△MCE，
∴AB=CM，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠CME=∠DAE，
∴AD=DM，
∵DM=CM+CD=AB+CD，
∴AB+CD=AD；
方法二：延长DE与AB的延长线交于一点F，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠BFE由（1）知：BE=CE，
在△DCE和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠BFE}\\{∠DEC=∠FEB}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FBE（AAS），
∴BF=DC，DE=EF，
∴AF=AB+BF=AB+CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
∴AB+CD=AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论．