Question

3．如图，P（1，1），PE⊥PF，O为△OEF的内角平分线的交点，O₁M⊥EF于M．
（1）求证：2O₁M=OE+OF-EF；
（2）若ME、MF的长度分别为x²-mx+2m-1=0的两根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）过O₁作O₁A⊥x轴于A，O₁B⊥y轴于B，连接O₁E，O₁F，得到O₁A=O₁B=O₁M，推出四边形OAO₁B是正方形，根据正方形的性质得到O₁A=O₁B=OA=OB=O₁M，证得Rt△AO₁E≌△RtMO₁E，同理Rt△BO₁F≌△RtMO₁F，根据全等三角形的性质得到AE=ME，BF=MF即可得到结论；
（2）过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，得到PC=PD=1=OC=OD，证得△PDF≌△PCE，根据全等三角形的性质得到DF=CE，求得OF=DF-OD=CE-1=OE-OC-1=OE-2，得到ME=MF=AE-BF=（OE-OA）-（OF-OB）=OE-OF=2，求得（ME-MF）²=4，即（ME+MF）²-4ME•MF=4，根据ME、MF的长度分别为x²-mx+2m-1=0的两根，于是得到ME+MF=m，ME•MF=2m-1，即可得到结论．

解答 解：（1）过O₁作O₁A⊥x轴于A，O₁B⊥y轴于B，连接O₁E，O₁F，∴O₁A=O₁B=O₁M，∵∠O₁AO=90°，∠O₁BO=90°，∠AOB=90°，
∴四边形OAO₁B是正方形，
∴O₁A=O₁B=OA=OB=O₁M，
在Rt△AO₁E与△RtMO₁E中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{O}_{1}=M{O}_{1}}\\{{O}_{1}E={O}_{1}E}\end{array}\right.$，
∴Rt△AO₁E≌△RtMO₁E，同理Rt△BO₁F≌△RtMO₁F，
∴AE=ME，BF=MF，
∴2O₁M=OA+OB=OE-AE+OF-BF=OE+OF-ME-MF=OE+OF-EF；

（2）过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
∴PC=PD=1=OC=OD，
∵∠CPD=90°，∠EPF=90°，
∴∠DPF=∠CPE，
在△PDF与△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠PCE}\\{PD=PC}\\{∠DPF=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PCE，
∴DF=CE，
∴OF=DF-OD=CE-1=OE-OC-1=OE-2，
∴ME-MF=AE-BF=（OE-OA）-（OF-OB）=OE-OF=2，
∴（ME-MF）²=4，即（ME+MF）²-4ME•MF=4，
∵ME、MF的长度分别为x²-mx+2m-1=0的两根，
∴ME+MF=m，ME•MF=2m-1，
∴m²-4（2m-1）=4，
解得：m=8，或m=0（舍去），
∴m的值是8．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系，正确的作出辅助线是解题的关键．