Question

11．如图，已知?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于E．
（1）若∠CAE=30°，AC=6，求?ABCD的面积；
（2）求证：AB=2OE．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到AO=2OE，由（2）得到AB=2OE，得到△ABO是等边三角形，得到AO=BO，推出?ABCD是矩形，于是得到结论；
（2）取AB的中点F，连接EF、OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=BF=$\frac{1}{2}$AB，根据等边对等角可得∠ABD=∠BEF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC=∠EOF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFO=∠EOF，再根据等角对等边可得EF=OE，从而得证．

解答 解：（1）∵AE⊥BO，
∴∠AEO=90°，
∵∠CAE=30°，
∴∠AOB=60°，AO=2OE，
由（2）得到AB=2OE，
∴AB=AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴?ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面积=AB•BC=9$\sqrt{3}$；

（2）证明：如图，取AB的中点F，连接EF、OF，
∵AE⊥BD，
∴EF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABD=∠BEF，
∵AO=CO，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC，
∴∠DBC=∠EOF，
根据三角形的外角性质，∠BEF=∠EFO+∠EOF，
又∵∠ABD=2∠DBC，
∴∠EFO=∠EOF，
∴EF=OE，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2OE．

点评 本题考查了平行四边形的对边平行，对角线互相平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线是解题的关键．