Question

19．问题：
如图1，DE∥GB，DE=GB，BD与EG相交于点F，证明：△DEF≌△BGF．
拓展一：
如图2，在△ACB和△AED中，点E在AC上，AC=BC，AE=DE，∠DEA=∠BCA=90°，连接BD，取BD中点F，连接FE、FC，请你探究CF和EF之间的位置关系和数量关系．
拓展二：
如图3，四边形ABCD∽四边形BEFG，点E在AB的延长线上，P是线段DF的中点，连接CP、PG，若CP⊥PG，则四边形ABCD应满足的条件是菱形；若CP⊥PG、且PC=$\sqrt{3}$PG，则四边形ABCD应满足的条件是菱形且∠A=60°．

Answer 1

分析 问题：根据品牌形象的性质得到∠D=∠B，∠E=∠G，然后根据全等三角形的判定即可得到结论．
拓展一：连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=$\sqrt{2}$EF；
拓展二：可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（ASA），于是两三角形全等，那么HP=PG，可根据三角函数来得出PG、CG的比例关系．

解答 问题：证明：∵DE∥GB，
∴∠D=∠B，∠E=∠G，
在△DEF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}\\{DE=BG}\\{∠E=∠G}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△BGF．

拓展一：解：如图，连结CF、AF，
∵AC=BC，AE=DE，∠DEA=∠BCA=90°，
∴∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，
又∵点F是BD的中点，
∴FA=FB=FD，
在△ACF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{FA=FB}\\{AC=BC}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF=∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵FA=FB，CA=CB，
∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
又∵DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE=EF；
拓展二：解：若CP⊥PG，四边形ABCD是菱形，
如图3，
设GP交DC交于点H，
∵四边形ABCD∽四边形BEFG，
∴四边形BFEG是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
在△GFP和△HDP中$\left\{\begin{array}{l}{∠GPF=∠HPD}\\{PF=DP}\\{∠GFP=∠HDP}\end{array}\right.$，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC；
若CP⊥PG、且PC=$\sqrt{3}$PG，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，
∵∠DCB=∠A=60°，
∴∠PCG=30°，
∴∠CGP=60°，
∴tan∠PGC=$\frac{PC}{PG}$=$\sqrt{3}$，
∴PC=$\sqrt{3}$PG．
故答案为：菱形，菱形，∠A=60°．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质．