Question

16．如图，在正方形ABCD中，点E、F在AD的延长线上，DE=DA，DF=DB，H、G分别为BF和DC、CE的交点，求证：GH=GF．

Answer 1

分析 如图，连接BD、DG．只要证明△BCG是底角等于22.5°的等腰三角形，即可推出，BC=CG=CD，推出∠GDH=∠GHD=67.5°，∠GDF=∠F=22.5°，即可解决问题．

解答 证明：如图，连接BD、DG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，∠BCD=∠ADC=∠CDE=90°，
∵DE=DC，
∴∠DCE=45°，
∵DB=DF，
∴∠DBF=∠F，
∵∠ADB=∠DBF+∠F=45°，
∴∠DBF=∠F=22.5°，
∴∠BHC=∠DHG=67.5°，∠BCG=135°，
∴∠BGC=180°-135°-22.5°=22.5°，
∴∠CBG=∠CGB，
∴CB=CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=67.5°，
∴∠GDH=∠GHD=67.5°，∠GDF=∠F=22.5°，
∴DG=GH，GF=DG，
∴HG=FG．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过角度计算，发现等腰三角形，属于中考常考题型．