Question

4．如图，△A₁B₁C₁中，A₁B₁=4，A₁C₁=5，B₁C₁=7．点A₂，B₂，C₂分别是边B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中点；点A₃，B₃，C₃分别是边B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂的中点；…；以此类推，则△A₄B₄C₄的周长是2，△A_nB_nC_n的周长是$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由三角形的中位线定理得：B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂分别等于A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁的$\frac{1}{2}$，所以△A₂B₂C₂的周长等于△A₁B₁C₁的周长的一半，以此类推可求出结论．

解答 解：∵△A₁B₁C₁中，A₁B₁=4，A₁C₁=5，B₁C₁=7，
∴△A₁B₁C₁的周长是16，
∵A₂，B₂，C₂分别是边B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中点，
∴B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂分别等于A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁的$\frac{1}{2}$，
…，
以此类推，则△A₄B₄C₄的周长是$\frac{1}{{2}^{3}}$×16=2；
∴△A_nB_nC_n的周长是$\frac{{2}^{5}}{2n-1}$，
故答案为：2，$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．