在矩形ABCD中.AB=6.AD=8.点E在AB上.且BE=2.P是BC上的动点.连接EP.将线段EP绕点E逆时针旋转一定角度后.点P落在AD上的点F处.以EP.EF为邻边作平行四边形EPGF．(1)如图1.当BP=4时.求证:四边形EPGF是正方形,(2)如图2.当BP=6时.过点G作GH⊥AD.交AD的延长线于点H.连接DG.FP．①求四边形EPGF的周长,②请直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在AB上，且BE=2，P是BC上的动点（BP＞2$\sqrt{3}$），连接EP，将线段EP绕点E逆时针旋转一定角度后，点P落在AD上的点F处，以EP，EF为邻边作平行四边形EPGF．
（1）如图1，当BP=4时，求证：四边形EPGF是正方形；
（2）如图2，当BP=6时，过点G作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，连接DG，FP．
①求四边形EPGF的周长；
②请直接写出∠EFP，∠BPF，∠HFG之间的数量关系；
③求△DFG的面积．

分析（1）先证明四边形EFGP是菱形，再证明$；\\;∠$∠FEP=90°即可．
（2）①在Rt△PBE中，求出PE即可解决问题．
②结论：∠EFP=∠BPF-∠HFG．利用平行线的性质以及菱形的性质即可证明．
③求出DF、GH，根据S _△DFG=$\frac{1}{2}$•FD•GH计算即可．

解答（1）证明：如图1中，

∵四边形EPGF是平行四边形，
又∵EF=EP，
∴EPGF是菱形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AB=6，EB=2，
∴AE=PB=4，
在Rt△AEF和Rt△BPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=PB}\\{EF=EP}\end{array}\right.$
∴Rt△AEF≌Rt△BPE
∠AEF=∠BPE，
∵∠BPE+∠BEP=90，
∴∠AEF+∠BEP=90，
∴∠FEP=90，
∴EPGF是正方形．

（2）如图2中，

①解：在Rt△PBE中，∵BE=2 BP=6，
∴EP=$\sqrt{B{E}^{2}+P{B}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵EPGF是菱形，
∴四边形EPGF的周长为8$\sqrt{10}$；

②结论：∠EFP=∠BPF-∠HFG．
理由：∵AD∥BC，
∴∠HFP=∠BPF，
∵四边形EFGP是菱形，
∴∠EFP=∠GFP=∠FPE=∠FPG，
∴∠BPE=∠HFG，
∴∠BPF-∠BPE=∠EPF，
∴∠BPF-∠HFG=∠EFP．
③解：在△HFG和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HFG=∠BPE}\\{∠H=∠B=90°}\\{FG=PE}\end{array}\right.$
∴△HFG≌△BPE，
∴HG=BE=2，
∵EF=EP=2$\sqrt{10}$，AE=4，
∴AF=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴FD=8-2$\sqrt{6}$，
∴S _△DFG=$\frac{1}{2}$•FD•GH=$\frac{1}{2}$×（8-2$\sqrt{6}$）×2=8-2$\sqrt{6}$．