题目内容
2．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在AB上，且BE=2，P是BC上的动点（BP＞2$\sqrt{3}$），连接EP，将线段EP绕点E逆时针旋转一定角度后，点P落在AD上的点F处，以EP，EF为邻边作平行四边形EPGF．（1）如图1，当BP=4时，求证：四边形EPGF是正方形；
（2）如图2，当BP=6时，过点G作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，连接DG，FP．
①求四边形EPGF的周长；
②请直接写出∠EFP，∠BPF，∠HFG之间的数量关系；
③求△DFG的面积．
分析 （1）先证明四边形EFGP是菱形，再证明$；\\;∠$∠FEP=90°即可．
（2）①在Rt△PBE中，求出PE即可解决问题．
②结论：∠EFP=∠BPF-∠HFG．利用平行线的性质以及菱形的性质即可证明．
③求出DF、GH，根据S △DFG=$\frac{1}{2}$•FD•GH计算即可．
解答 （1）证明：如图1中，
∵四边形EPGF是平行四边形，
又∵EF=EP，
∴EPGF是菱形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AB=6，EB=2，
∴AE=PB=4，
在Rt△AEF和Rt△BPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=PB}\\{EF=EP}\end{array}\right.$
∴Rt△AEF≌Rt△BPE
∠AEF=∠BPE，
∵∠BPE+∠BEP=90，
∴∠AEF+∠BEP=90，
∴∠FEP=90，
∴EPGF是正方形．
（2）如图2中，
①解：在Rt△PBE中，∵BE=2 BP=6，
∴EP=$\sqrt{B{E}^{2}+P{B}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵EPGF是菱形，
∴四边形EPGF的周长为8$\sqrt{10}$；
②结论：∠EFP=∠BPF-∠HFG．
理由：∵AD∥BC，
∴∠HFP=∠BPF，
∵四边形EFGP是菱形，
∴∠EFP=∠GFP=∠FPE=∠FPG，
∴∠BPE=∠HFG，
∴∠BPF-∠BPE=∠EPF，
∴∠BPF-∠HFG=∠EFP．
③解：在△HFG和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HFG=∠BPE}\\{∠H=∠B=90°}\\{FG=PE}\end{array}\right.$
∴△HFG≌△BPE，
∴HG=BE=2，
∵EF=EP=2$\sqrt{10}$，AE=4，
∴AF=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴FD=8-2$\sqrt{6}$，
∴S △DFG=$\frac{1}{2}$•FD•GH=$\frac{1}{2}$×（8-2$\sqrt{6}$）×2=8-2$\sqrt{6}$．
点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
| A． | 2017 | B． | -2017 | C． | $\frac{1}{2017}$ | D． | -$\frac{1}{2017}$ |
以点O为位似中心，作出四边形ABCD的位似图形，使得所作图形与原图形的位似比为2：1．