Question

9．如图，在△ABC中，BC=2AC，∠C=2∠B，求证：∠A=90°．

Answer 1

分析 作∠ACB的平分线CD交AB于点D，过D作DE⊥BC于点E，构造直角三角形和等腰三角形，由∠ACD=∠BCD，∠C=2∠B得到∠BCD=∠B⇒△DBC是等腰三角形，由SAS证得△ECD≌△ACD，从而得到结论．

解答 证明：作∠ACB的平分线CD交AB于点D，过D作DE⊥BC于点E，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠C=2∠B，
∴∠BCD=∠B，
∴△DBC是等腰三角形，
又∵DE⊥BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC．
∵BC=2AC，
∴CE=CA，
在△BED与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CA}\\{∠ACD=∠BCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BCD（SAS）．
∴∠A=∠CED=90°．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质及直角三角形全等三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．