Question

9．如图，直线l与⊙O相切于点A，作半径OB并延长至点C，使得BC=OB，作CD⊥直线l于点D，连接BD得∠CBD=75°，则∠OCD=70度．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AD于点D，连接AB，利用BC=OB、CD⊥AD及AD为⊙O切线可证得△BAD为等腰三角形，此时可利用∠BAD=∠BDA找到∠C与∠O的关系，从而可以求出∠C的度数．

解答 解：过点B作BE⊥AD于点D，连接AB，

∵直线l与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AD，
∵CD⊥AD，
∴OA∥BE∥CD，
∴∠O+∠C=180°，
∵OB=BC，
∴AE=ED，
∴BA=BD，
∴∠BAE=∠BDE，
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴∠O=2∠BAE，
∴∠O=2∠BDE，
∵∠CBD=75°，CD⊥AD，
∴∠BDC=105°-∠C，∠BDE=90°-（105°-∠C）=∠C-15°，
∴∠O=2（∠C-15°）=2∠C-30°，
∴2∠C-30°+∠C=180°，解得∠C=70°．
故答案为：70．

点评 本题考查了切线的性质、中位线性质、等腰三角形性质，解题的关键是通过辅助线构造等腰三角形，将所求角之间的关系建立起来．