Question

10．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连结ED，BE．
（1）求证：$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$．
（2）若BC=6．AB=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD=BD，根据弦、弧、圆心角的关系定理证明结论；
（2）连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，根据勾股定理求出AD，根据三角形中位线定理求出OF，根据三角形的面积公式求出BH，根据垂径定理解答．

解答 （1）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴CD=BD，
∵A、E、D、B四点共圆，
∴∠CED=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=∠CED，
∴DE=DC，
∴DE=BD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$；
（2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，
BD=$\frac{1}{2}$BC=3，AB=5，
又勾股定理得，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF∥AD，又OA=OB，
∴OF=$\frac{1}{2}$AD=2，
则$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×BH=$\frac{1}{2}$×3×2，
解得，BH=$\frac{12}{5}$，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$，
∴BE=2BH=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查的是圆周角定理、弦、弧、圆心角的关系、垂径定理的应用，掌握相关定理、并灵活运用是解题的关键．