Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E．
（1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
（2）若DC=2，求证：△ABD≌△DCE．

Answer 1

分析 （1）分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE的形状是等腰三角形；
（2）利用∠DEC+∠EDC=130°，∠ADB+∠EDC=130°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．

解答 解：（1）∵∠B=∠C=50°，∠ADE=50°，
∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°，
∴∠BDA=∠CED，
∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），
∴AD≠AE，
ⅰ）如图所示，当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50°，

∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°；
ⅱ）如图所示，当DA=DE时，∠EAD=∠AED=65°，

∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°；

（2）由（1）可得∠BDA=∠CED，
又∵∠B=∠C=50°，AB=DC=2，
∴在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠CED}\\{∠B=∠C}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．

点评 此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行分类讨论．