Question

14．如图，若双曲线y=$\frac{k}{x}$与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC=3BD．则实数k的值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=3x，则BD=x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设BD=x，则OC=3x，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
则OE=$\frac{3}{2}$x，CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x，
则点C坐标为（$\frac{3}{2}$x，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x），
在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，
则BF=$\frac{1}{2}$x，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
则点D的坐标为（5-$\frac{1}{2}$x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$x²，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
则$\frac{9\sqrt{3}}{4}$x²=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
解得：x₁=1，x₂=0（舍去），
故k=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．