如图1.A.B分别为x.y轴上的点.O为坐标原点.设OA=a.OB=b.AB=c.(1)若正数a.b.c满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.且OP⊥AB于P.求OP的长,(2)如图2.若P为线段AB的中点.试探究线段OP与AB间的数量关系.并说明理由．(3)如图3.若P是线段AB上一动点.在射线OP上取一点E.使AE=a.此时∠AOE=∠AEO．在第一象限内.过E作AE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图1，A、B分别为x、y轴上的点，O为坐标原点，设OA=a，OB=b，AB=c，
（1）若正数a、b、c满足a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，且OP⊥AB于P，求OP的长；
（2）如图2，若P为线段AB的中点，试探究线段OP与AB间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，若P是线段AB上一动点（不与A、B点重合），在射线OP上取一点E，使AE=a，此时∠AOE=∠AEO．在第一象限内，过E作AE的垂线，并截取ED=b，连AD、BD，BD交射线OP于F点．当P点运动时，$\frac{BF}{FD}$的值不变，请说明理由，并求这个不变的值．

分析（1）对等式进行整理从而求得三边的长，可发现其符合勾股定理的逆定理，即其是直角三角形，进一步利用三角形的面积求得三角形最长边上的高（斜边上的高）．
（2）延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得OP=$\frac{1}{2}$AB．
（3）如图3，过B作BM⊥OF于M，过D作DN⊥OF交OF延长线于N，构建全等三角形：△MOB≌△NED、△MFB≌△NFD，结合全等三角形的对应边相等推知BF=FD即可．

解答解：（1）如图1，∵a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，
∴（a-3）²+（b-4）²+（c-5）²=0，
∴a=3；b=4；c=5，
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c•OP，
∴OP=$\frac{12}{5}$；

（2）OP=$\frac{1}{2}$AB，理由如下：
如图2，延长OP到E点，使PE=OP，连BE、AE，
∵OP是斜边AB上的中线，
∴AP=BP，
∴四边形OAEB是平行四边形，
∵∠AOB=90°，
∴四边形OAEB是矩形，
∴AP=BP=OP=PE，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB；

（3）证明：如图3，过B作BM⊥OF于M，过D作DN⊥OF交OF延长线于N，
∵∠AOE=∠AEO，∠AOE+∠BOM=∠AEO+∠DEN=90°
∴∠BOM=∠DEN，
在△MOB与△NED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMO=∠NDE=90°}\\{∠BOM=∠DEN}\\{OB=ED}\end{array}\right.$，
可证△MOB≌△NED（AAS），
∴BM=DN，
同理可证△MFB≌△NFD，
∴BF=FD，
∴$\frac{BF}{FD}$=1．