Question

20．小明同学用电脑画图，他先画了两条平行线AB、CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE、DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、③、④等图形．这时他突然一想：∠B、∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用《几何画板》的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系．
（1）选图③过点E作EF∥AB
∵AB∥CD
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠D=∠DEF
∠B=∠BEF
又∵∠BED=∠DEF-∠BEF
∴∠BED=∠D-∠B
（2）你能探讨出图①至图④其余各图中∠B、∠D与∠BED之间的关系．
如图①中∠BED=∠B+∠D
如图②中∠BED=360°-∠B-∠D
如图④中∠BED=∠ABE-∠D
（3）模仿（1）的解答过程，证明你在图④中发现的关系．

Answer 1

分析 （1）如图③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根据∠BED=∠DEF-∠BEF整理即可得证；
（2）①过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等解答；②过点E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补解答；③延长AB与DE相交于点F，首先利用两直线平行，同位角相等，再利用外角的性质得出结论；
（3）如图4，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根据∠BED=∠BEF-∠DEF整理即可得证．

解答 解：（1）选图③．
过点E作EF∥AB
∵AB∥CD，
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，
又∵∠BED=∠DEF-∠BEF，
∴∠BED=∠D-∠B．
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行，∠DEF-∠BEF，∠D-∠B

（2）①，如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D；
②如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°，
∴∠B+∠BED+∠D=360°，
∠BED=360°-∠B-∠D；
如图③延长AB与DE相交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠EFB=∠D，
∵∠ABE=∠EFB+∠BED，
∴∠ABE=∠D+∠BED，
∠BED=∠ABE-∠D；
故答案为：∠B+∠D，∠BED=360°-∠B-∠D，∠ABE-∠D；

（3）选图4．
过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，
又∵∠BED=∠BEF-∠DEF，
∴∠BED=∠B-∠D．

点评 本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线．