Question

5．A，B，C三个城市的位置如图所示，城市B在城市A的西南方向（南偏西45°）100km处，城市C在城市A的南偏东30°方向，在城市B的南偏东75°方向．求城市A、C之间的距离．（结果取整数，参考数据：$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 作AD⊥BC于点D，易知∠ABD=60°、∠BAC=75°，在RT△ABD中AD=AB•sin∠ABD，在RT△ACD中可得∠CAD度数，进而可得AC=$\frac{AD}{cos∠CAD}$．

解答 解：如图，作AD⊥BC于点D，

根据题意知，∠ABD=60°，∠BAC=75°，AB=100km，
在RT△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=100×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=50$\sqrt{3}$（km），
∵∠BAC=75°，∠BAD=30°，
∴∠DAC=45°，
∴在RT△ACD中，AC=$\frac{AD}{cos∠CAD}=\frac{50\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=50$\sqrt{6}$≈123（km）
答：城市A、C之间的距离约为123km．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用能力，解答此类题目的关键是将三角形转化为含特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值或勾股定理解答．