Question

11．已知：二次函数的图象经过A（2，-3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点B、C的距离为4．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）请写出该函数的顶点坐标．
（3）若抛物线上有一点P，使△PBC的面积为8，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用抛物线的对称性确定B点和C点坐标，再设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把A点坐标代入求出a即可；
（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到该函数的顶点坐标；
（3）设P（t，t²-2t-3），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=8，然后分别解方程t²-2t-3=4和方程t²-2t-3=-4求出t即可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴两交点B、C的距离为4，
∴B（-1，0），C（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把A（2，-3）代入得a•3•（-1）=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴该函数的顶点坐标为（1，-4）；
（3）设P（t，t²-2t-3），
∵$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t^2-2t-3|=8，
∴t²-2t-3=4或t²-2t-3=-4，
解方程t²-2t-3=4得t₁=1+2$\sqrt{2}$t₂=1-2$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）；
解方程t²-2t-3=-4得t₁=t₂=1，此时P点坐标为（1，-4）．
综上所述，P点坐标为（1，-4）或（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（3）小题的关键是利用三角形面积公式得到t的方程．