Question

14．如图，矩形OABC的长OA=$\sqrt{3}$，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC，经过C，P，A三点的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，则梯形COAD的面积为（　　）

• A． $\frac{7}{4}$$\sqrt{3}$
• B． $\frac{7}{16}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{7}{8}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 根据矩形的边长求得点P的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后将D的纵坐标代入求出点D的横坐标，最后根据梯形的面积公式求解．

解答 解：∵OA=$\sqrt{3}$，OC=1，
∴tan∠OAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAC=30°，∠ACP=∠ACO=60°，
过P作PM⊥OA于M，交CB于G，
则PG⊥CD，
∠GCP=30°，GP=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，
CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设过 A、P、C三点抛物线解析式为y=ax²+bx+c．
∴c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+1=\frac{3}{2}}\\{3a+\sqrt{3}b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x²+$\sqrt{3}$x+1，
∵四边形OABC为矩形，
∴设点D坐标为（m，1），
则-$\frac{4}{3}$m²+$\sqrt{3}$m+1=1，
解得：m=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$或m=0（舍去），
则梯形COAD的面积为：$\frac{1}{2}$（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+$\sqrt{3}$）×1=$\frac{7\sqrt{3}}{8}$．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了矩形的性质、图形的翻折变换、二次函数解析式的确定、梯形的面积公式等知识，涉及的知识点较多，难度较大．