Question

19．某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米/秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他（AB）在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他（CD）在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点F，此时点A，C，E三点共线．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出小明位于点F时在这个灯光下的影长FH（不写画法）；
（2）求小明到达点F时的影长FH的长．

Answer 1

分析 （1）连结MA、GC并延长MA和GC，它们相交于点O，然后连结OE并延长交MN于H，则FH为小明位于点F时在这个灯光下的影长；
（2）先利用速度公式得到BM=BD=3m，DF=4.5m，设AB=CD=EF=a，作OK⊥MN于K，如图，通过证明△MAB∽△MOK得到$\frac{a}{OK}$=$\frac{3}{6+DK}$①，通过证明△GCD∽△GOK得到$\frac{a}{OK}$=$\frac{1.2}{1.2+DK}$②，由①②得$\frac{3}{6+DK}$=$\frac{1.2}{1.2+DK}$，可求出Dk=2，原式得到$\frac{a}{OK}$=$\frac{3}{8}$，FK=DF-DK=2.5，然后证明△HEF∽△HOK，利用相似比可计算出HF．

解答 解：（1）如图，点O和FH为所作；

（2）BM=BD=2×1.5=3m，GD=1.2m，DF=1.5×1.5×2=4.5m，设AB=CD=EF=a，
作OK⊥MN于K，如图，
∵AB∥OK，
∴△MAB∽△MOK，
∴$\frac{AB}{OK}$=$\frac{MB}{MK}$，即$\frac{a}{OK}$=$\frac{3}{6+DK}$①，
∵CD∥OK，
∴△GCD∽△GOK，
∴$\frac{CD}{OK}$=$\frac{GD}{GK}$，即$\frac{a}{OK}$=$\frac{1.2}{1.2+DK}$②，
由①②得$\frac{3}{6+DK}$=$\frac{1.2}{1.2+DK}$，解得Dk=2，
∴$\frac{a}{OK}$=$\frac{3}{6+2}$=$\frac{3}{8}$，FK=DF-DK=4.5-2=2.5，
∵EF∥OK，
∴△HEF∽△HOK，
∴$\frac{a}{OK}$=$\frac{HF}{HK}$，即$\frac{HF}{HF+2.5}$=$\frac{3}{8}$，
∴HF=1.5（m）．
答：小明到达点F时的影长FH的长为1.5m．

点评 本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．也考查了构建相似三角形，利用相似三角形的性质计算相应线段的长．