Question

5．已知正△ABC内接于圆O，四边形DEFG为半圆O的内接正方形（D，E在直径上，F，G在半圆上的正方形），S_△ABC=a，S_{四边形DEFG}=b，则$\frac{b}{a}$的值等于$\frac{16\sqrt{3}}{45}$．

Answer 1

分析 设圆O的半径为R，由正三角形的性质得出S_△ABC=a=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²，连接OF，设正方形DEFG的边长为2x，则OE=x，由勾股定理和正方形的性质得出x²=$\frac{{R}^{2}}{5}$，得出正方形DEFG的面积=$\frac{4}{5}{R}^{2}$，即b═$\frac{4}{5}{R}^{2}$，即可得出结果．

解答 解：如图所示：连接OF，
设圆O的半径为R，
∵△ABC是正三角形，
∴S_△ABC=a=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²，
设正方形DEFG的边长为2x，则OE=x，
∴OF²=OE²+EF²=x²+（2x）²=5x²，
即R²=5x²，
∴x²=$\frac{{R}^{2}}{5}$，
∴正方形DEFG的面积=（2x）²=4x²=$\frac{4}{5}{R}^{2}$，
即b═$\frac{4}{5}{R}^{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\frac{4}{5}{R}^{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{45}$．

点评 本题考查了正三角形的性质、正方形的性质、正多边形和圆的关系、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，把正三角形和正方形的面积用半径R表示出来是解决问题的关键．