Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2a，则AD的长是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a
• B． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a
• C． （$\sqrt{5}$-1）a
• D． （$\sqrt{5}$+1）a

Answer 1

分析 由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，易证得BC=BD=AD，继而证得△CBD∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠A，∠C=∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴∠CBD=∠A，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴CD：CB=CB：CA，
设AD=x，则CB=2a-x，
∴x²=（2a-x）•2a，
解得：x=（$\sqrt{5}$-1）a．
∴AD=（$\sqrt{5}$-1）a．
故选C．

点评 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质．注意证得BC=BD=AD与△CBD∽△CAB是解此题的关键．