Question

16．阅读下列学习内容：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠ABC=∠D=90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
探究思路如下：延长EB到点G，使BG=DF，连结AG．
$\left.\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠D}\\{BG=DF}\end{array}\right\}$⇒△ABG≌△ADF⇒$\left\{\begin{array}{l}{∠GAB=∠DAF}\\{AG=AF}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{∠BAD=120°}\\{∠EAF=60°}\end{array}\right\}$⇒∠DAF+∠BAE=60°⇒∠GAB+∠BAE=60°
∠EAG=60°⇒$\left.\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠FAE=∠EAG}\\{AF=AG}\end{array}\right\}$⇒△AEF≌△AEG⇒EF=EG
则由探究结果知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为EF=BE+FD．
（2）根据上面的方法，解决问题：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN=45°，若BM=3，ND=2，请求出线段MN的长度．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的全等可得出线段BE、EF、FD之间的数量关系；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（3）旋转ABM至△ADP位置，证明△PAN≌△MAN，得到MN=NP，即可解答．

解答 解：（1）EF=BE+DF；
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图2，

在△ABE和△ADG中，
 $\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF．
（3）∵四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形，

如图3，旋转ABM至△ADP位置，
∴∠PAM=∠DAM+∠MAB=90°AP=AM，AN=AN，∠PAN=∠PAM-∠MAN=90°-45°=45°=∠MAN，
在△PAN和△MAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AP}\\{∠PAN=∠MAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△PAN≌△MAN，
∴MN=NP，
∴MN=PN=PD+DN=BM+DN=3+2=5．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．