Question

16．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q．
②连接PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F；
（2）求证：AE=CF．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形即可；
（2）由作图可知PQ是线段AC的垂直平分线，故可得出OA=OC，再由平行四边形的性质得出∠OCF=∠OAE，故可得出△OCF≌△OAE，据此可得出结论．

解答 （1）解：如图；

（2）证明：∵由作图可知，PQ是线段AC的垂直平分线，
∴OA=OC．
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE．
在△OCF与△OAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{OC=OA}\\{∠COF=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OAE（ASA），
∴AE=CF．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的性质．