Question

5．如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设C（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3-m．首先证明△ACP∽△ECH，推出$\frac{AC}{CE}$=$\frac{PC}{CH}$=$\frac{AP}{HE}$=$\frac{1}{2}$，推出CH=2n，EH=2m+6，再证明△DPB∽△DHE，推出$\frac{PB}{EH}$=$\frac{DP}{DH}$=$\frac{n}{4n}$=$\frac{1}{4}$，可得$\frac{3-m}{2m+6}$=$\frac{1}{4}$，求出m即可解决问题；
（2）由题意设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-5），求出E点坐标代入即可解决问题；

解答 解：（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设C（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3-m．

∵EH∥AP，
∴△ACP∽△ECH，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{PC}{CH}$=$\frac{AP}{HE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CH=2n，EH=2m+6，
∵CD⊥AB，
∴PC=PD=n，
∵PB∥HE，
∴△DPB∽△DHE，
∴$\frac{PB}{EH}$=$\frac{DP}{DH}$=$\frac{n}{4n}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{3-m}{2m+6}$=$\frac{1}{4}$，
∴m=1，
∴P（1，0）．

（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，
连接OC，在Rt△OCP中，PC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{P}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CH=2PC=4$\sqrt{2}$，PH=6$\sqrt{2}$，
∴E（9，6$\sqrt{2}$），
∵抛物线的对称轴为CD，
∴（-3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-5），把E（9，6$\sqrt{2}$）代入得到a=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{2}}{8}$（x+3）（x-5），即y=$\frac{\sqrt{2}}{8}$x²-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x-$\frac{15\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查圆综合题、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．