Question

8．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：

速度v（千米/小时）	…	5	10	20	32	40	48	…
流量q（辆/小时）	…	550	1000	1600	1792	1600	1152	…

（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是③（只填上正确答案的序号）
①q=90v+100；②q=$\frac{32000}{v}$；③q=-2v²+120v．
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k满足q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．
①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的增减性即可判断；
（2）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；
（3）①求出v=12或18时，定义的k的值即可解决问题；
②由题意流量q最大时d的值=流量q最大时k的值；

解答 解：（1）函数①q=90v+100，q随v的增大而增大，显然不符合题意．
函数②q=$\frac{32000}{v}$q随v的增大而减小，显然不符合题意．
故刻画q，v关系最准确的是③．
故答案为③．

（2）∵q=-2v²+120v=-2（v-30）²+1800，
∵-2＜0，
∴v=30时，q达到最大值，q的最大值为1800．

（3）①当v=12时，q=1152，此时k=96，
当v=18时，q=1512，此时k=84，
∴84＜k≤96．
②当v=30时，q=1800，此时k=60，
∵在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，
∴流量q最大时d的值为$\frac{1000}{60}$=$\frac{50}{3}$m．

点评 本题考查二次函数的应用、最值问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．