Question

12．二次函数y=x²+px+q的顶点M是直线y=-$\frac{1}{2}x$和直线y=x+m的交点．
（1）若直线y=x+m过点D（0，-3），求M点的坐标及二次函数y=x²+px+q的解析式；
（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；
（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x²+px+q的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=-$\frac{1}{2}x$上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出m，解方程组求出M点坐标，根据二次函数的性质求出p、q，得到二次函数的解析式；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行判断；
（3）根据二次函数的性质求出点C的坐标、点A的坐标，根据勾股定理求出CM，根据勾股定理的逆定理判断△CMA是直角三角形，根据三角形的外接圆的性质计算．

解答 解：（1）把D（0，-3）坐标代入直线y=x+m中，
得m=-3，从而得直线y=x-3，
由M为直线y=-$\frac{1}{2}x$与直线y=x-3的交点，
得$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x\\ y=x-3\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$，
∴得M点坐标为M（2，-1），
∵M为二次函数y=x²+px+q的顶点，
∴其对称轴为x=2，
由对称轴公式：x=-$\frac{b}{2a}$，得-$\frac{p}{2}$=2，
∴p=-4；
由$\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}$=-1，
$\frac{{4q-{{（-4）}^2}}}{4}$=-1，
解得，q=3．
∴二次函数y=x²+px+q的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）∵M是直线y=-$\frac{1}{2}x$和y=x+m的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x\\ y=x+m\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{2}{3}m\\ y=\frac{1}{3}m\end{array}\right.$，
∴M点坐标为M（-$\frac{2}{3}m$，$\frac{1}{3}m$），
∴-$\frac{p}{2}$=-$\frac{2}{3}m$、$\frac{{4q-{{（\frac{4}{3}m）}^2}}}{4}$=$\frac{1}{3}m$，
解得，p=$\frac{4}{3}m$，q=$\frac{4}{9}{m^2}$+$\frac{1}{3}m$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ y={x^2}+px+q\end{array}\right.$，得x²+（p-1）x+q-m=0，
△=（p-1）²-4（q-m）
=（$\frac{4}{3}m$-1）²-4（$\frac{4}{9}{m^2}$+$\frac{1}{3}m$-m）=1＞0，
∴二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；

（3）由（1）知，二次函数的解析式为：y=x²-4x+3，
当x=0时，y=3．
∴点C的坐标为C（0，3），
令y=0，即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点A的坐标为A（3，0），
由勾股定理，得AC=3$\sqrt{2}$．
∵M点的坐标为M（2，-1），
过M点作x轴的垂线，垂足的坐标应为（2，0），
由勾股定理得，AM=$\sqrt{2}$，
过M点作y轴的垂线，垂足的坐标应为（0，-1），
由勾股定理，得CM=$\sqrt{{4^2}+{2^2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$．
∵AC²+AM²=20=CM²，
∴△CMA是直角三角形，
CM为斜边，∠CAM=90°．
直线y=-$\frac{1}{2}x$与△CMA的外接圆的一个交点为M，另一个交点为P，
则∠CPM=90°．即△CPM为Rt△，
设P点的横坐标为x，则P（x，-$\frac{1}{2}x$）．过点P作x轴垂线，
过点M作y轴垂线，两条垂线交于点E，则E（x，-1）．
过P作PF⊥y轴于点F，则F（0，-$\frac{1}{2}x$）．
在Rt△PEM中，PM²=PE²+EM²
=（-$\frac{1}{2}x$+1）²+（2-x）²=$\frac{5}{4}{x^2}$-5x+5．
在Rt△PCF中，PC²=PF²+CF²=x²+（3+$\frac{1}{2}x$）²
=$\frac{5}{4}{x^2}$+3x+9．
在Rt△PCM中，PC²+PM²=CM²，
得$\frac{5}{4}{x^2}$+3x+9+$\frac{5}{4}{x^2}$-5x+5=20，
化简整理得5x²-4x-12=0，
解得x₁=2，x₂=-$\frac{6}{5}$．
当x=2时，y=-1，即为M点的横、纵坐标．
∴P点的横坐标为-$\frac{6}{5}$，纵坐标为$\frac{3}{5}$，
∴P（-$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、一元二次方程根的判别式是解题的关键．