Question

如图1，抛物线y=-x²+2bx+c（b＞0）与y轴交于点C，点P为抛物线顶点，分别作点P，C关于原点O的对称点P′，C′，顺次连接四点得四边形PC P′C′．
（1）当b=c=1时，求顶点P的坐标；
（2）当b=2，四边形PC P′C′为矩形时（如图2），求c的值；
（3）请你探究：四边形PCP′C′能否成为正方形？若能，求出符合条件的b，c的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当b=c=1时，直接代入再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）当b=2时，y=-x²+2bx+c=-x²+4x+c=-（x-2）²+4+c，则顶点P的坐标为（2，4+c），再利用矩形的性质得出OP=OC，结合勾股定理求出即可；
（3）当四边形PCP′C′能成为正方形时，PP′⊥CC′且OP=OC，则此时点P必在x轴上，利用公式

4×(-1)×c-(2b)2

4×(-1)

=c+b²=0 ①，进而得出OP=OC，点C必在y轴的负半轴上，则b=-c②，求出b，c即可．

解答：解：（1）当b=c=1时，y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
∴顶点P的坐标为（1，2）；

（2）当b=2时，y=-x²+2bx+c=-x²+4x+c=-（x-2）²+4+c，
∴顶点P的坐标为（2，4+c），
当x=0时，y=c，∴点C的坐标为（0，c），
当四边形PC P′C′为矩形时OP=OC，
即2²+（4+c）²=c²，
解得：c=-

5

2

；

（3）当四边形PCP′C′能成为正方形时，PP′⊥CC′且OP=OC
此时点P必在x轴上，∴

4×(-1)×c-(2b)2

4×(-1)

=c+b²=0 ①，
∵OP=OC，点C必在y轴的负半轴上，∴b=-c②，
由①②得，c=0（舍去），c=-1，b=1．

点评：此题主要考查了矩形的性质以及正方形的性质和二次函数综合等知识，结合正方形的性质得出点P必在x轴上，点C必在y轴的负半轴上是解题关键．