Question

如图，⊙O的直径BC=8，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC=4，A是线段BO上一动点，连结AD交⊙O于点G，过点A作AF⊥AD交直线m于点F，交⊙O于点H，连结GH交BC于点E．
（1）当A是BO的中点时，求AF的长；
（2）若∠AGH=∠AFD，
①GE与EH相等吗？请说明理由；
②求△AGH的面积．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）由BC=8，A是OB的中点得到AC=6，再根据切线的性质得∠ACD=∠ACF=90°，而∠DAF=90°，根据等角的余角相等得到∠ADC=∠CAF，于是可判△ACD∽△FCA，利用相似比可计算出FC=9，然后在Rt△AFC中，根据勾股定理可计算出AF=3

13

；
（2）①由于∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG=90°，根据等角的余角相等得到∠AHE=∠FAC，则EA=EH，同理可得EA=EG，所以GE=EH
②由于GE=EH，即BC平分GE，根据直径互相平分和垂径定理得到GH是圆O的直径或GH⊥BC，分类讨论：当GH是直径（即A与B重合，E与O重合），则GH=8，
由（1）得到△ACD∽△FCA，利用相似比求出FC=16，则FD=20，再根据相似的性质由△AGH∽△AFD得到

S△AGH

S△AFD

=（

HG

FD

）²，可计算得到S_△AGH=

64

5

；当GH⊥BC，由于AC垂直平分GH，则AG=AH，且GH∥FD，而∠GAH=90°，所以∠AGH=45°，则∠D=∠AGH=45°，于是可判断△ACD为等腰直角三角形，AC=CD=4，而OC=4，所以A、O点重合，则有AG=AH=4，然后根据三角形面积公式得到△AGH的面积=8．

解答：解：（1）∵BC=8，A是OB的中点，
∴AC=6，
又∵DC为⊙O的切线，
∴∠ACD=∠ACF=90°，
∵AD⊥AF，
∴∠DAF=90°，
∴∠ADC=∠CAF，
∴△ACD∽△FCA，
∴CD：AC=AC：FC，即4：6=6：FC，
∴FC=9，
在Rt△AFC中，AF=

AC2+CF2

=

62+92

=3

13

；
（2）①GE=EH，理由如下：
∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG=90°，
∴∠AHE=∠FAC，
∴EA=EH，
同理可得EA=EG，
∴GE=EH；
②∵GE=EH，即BC平分GE，
∴GH是圆O的直径或GH⊥BC，
如图1，当GH是直径（即A与B重合，E与O重合），则GH=8，
由（1）得到△ACD∽△FCA，
∴

AC

FC

=

CD

AC

，即

8

FC

=

4

8

，解得FC=16，
∴FD=FC+CD=20，
∵△AGH∽△AFD，
∴

S△AGH

S△AFD

=（

HG

FD

）²，
∴S_△AGH=（

8

20

）²×

1

2

×8×20=

64

5

；
如图2，若GH⊥BC，
∴AC垂直平分GH，
∴AG=AH，且GH∥FD，
而∠GAH=90°，则∠AGH=45°，
∴∠D=∠AGH=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=CD=4，
而OC=4，
∴A、O点重合，
∴AG=AH=4，
∴△AGH的面积=

1

2

×4×4=8，
即△AGH的面积为8或

64

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质．