Question

10．已知：x≠0，且满足x²-3x=1，求x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值．
解：∵x²-3x=1，∴x²-3x-1=0．
∴x-3-$\frac{1}{x}$=0，即x-$\frac{1}{x}$=3．
∴（x-$\frac{1}{x}$）²=3²，即x²-2x•$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=9．
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=11
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1-2a）-（3-2a）²+9a²=14a-7，求：（1）a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$的值；（2）$\frac{{a}^{2}}{{3a}^{4}{+a}^{2}+3}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知求出a-$\frac{1}{a}$=2，根据完全平方公式变形，最后整体代入求出即可；
（2）先分子和分母都除以a²，再变形后整体代入求出即可．

解答 解：（2a+1）（1-2a）-（3-2a）²+9a²=14a-7，
1-4a²-9+12a-4a²+9a²-14a+7=0，
a²-2a-1=0，
a-2-$\frac{1}{a}$=0，
a-$\frac{1}{a}$=2
（1）a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a-$\frac{1}{a}$）²+2•a•$\frac{1}{a}$=2²+2=6；

（2）$\frac{{a}^{2}}{{3a}^{4}{+a}^{2}+3}$=$\frac{1}{3{a}^{2}+1+\frac{3}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{3（{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}）+1}$=$\frac{1}{3×6+1}$=$\frac{1}{19}$．

点评 本题考查了分式的混合运算和求值，完全平方公式的应用，能求出a-$\frac{1}{a}$的值是解此题的关键，用了整体代入思想．