Question

11．如图，抛物线L：y=ax²+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=-3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出直线BC解析式为y=-x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；
（3）设P（m，-m²+2m+3），Q（-3，n），由勾股定理得出PB²=（m-3）²+（-m²+2m+3）²，PQ²=（m+3）²+（-m²+2m+3-n）²，BQ²=n²+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，则MQ=-m²+2m+3-n，PN=3-m，得出方程-m²+2m+3-n=3-m，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），
∴A（-1，0）
∵抛物线y=ax²+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（3，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标为（1，4）
∵对于直线BC：y=-x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，
∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；
当h=4时，抛物线顶点落在OB上，
∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），
则2≤h≤4；
（3）设P（m，-m²+2m+3），Q（-3，n），
①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：
∵B（3，0），
∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，BP=PQ，
则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，
在△PQM和△BPN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMQ=∠BNP}&{\;}\\{∠MPQ=∠NBP}&{\;}\\{PQ=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PQM≌△BPN（AAS），
∴PM=BN，
∵PM=BN=-m²+2m+3，根据B点坐标可得PN=3-m，且PM+PN=6，
∴-m²+2m+3+3-m=6，
解得：m=1或m=0，
∴P（1，4）或P（0，3）．
②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，
同理可得△PQM≌△BPN，
∴PM=BN，
∴PM=6-（3-m）=3+m，BN=m²-2m-3，
则3+m=m²-2m-3，
解得m=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$．
∴P（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$）．
综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$）和（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$）．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．