Question

1．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D
（1）求证：△BFD∽△ABD；
（2）求证：DE=DB．

Answer 1

分析 （1）先根据内心的性质得出∠BAD=∠CAD，再由圆周角定理得出∠CAD=∠CBD，故可得出∠BAD=∠CBD，进而可得出结论；
（2）连接BE，根据点E是△ABC的内心得出∠ABE=∠CBE．由∠CBD=∠BAD可得出∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD，进而可得出结论．

解答 （1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD．
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD．
∵∠BDF=∠ADB，
∴△BFD∽△ABD；

（2）证明：连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵∠CBD=∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD．
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，即∠DBE=∠BED，
∴DE=DB．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，利用三角形内心的性质求解是解答此题的关键．