Question

9．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）如图2，正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°），得到正方形OE′F′G′；
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为2，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长ED交AG于点H，证明△AOG≌△DOE，根据等量代换证明结论；
（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到∠AG′O=30°，分两种情况求出α的度数；
（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时α的度数．

解答 解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD
在△AOG和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠DOE}\\{OG=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=$\frac{1}{2}$OG=$\frac{1}{2}$OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O=$\frac{OA}{OG′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；
α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°-30°=150°，
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°；
②如图3，连接OF，
∵四边形OEFG是正方形，
∴∠FOE=45°，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA=$\sqrt{2}$，OG=2$\sqrt{2}$，
则OF=4，
∴当α=315°时，A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为4+$\sqrt{2}$，
此时α=315°．

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．