Question

7．如图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB弧长等于AF弧长，BF与AD、AO分别交于点E、G．
（1）证明：∠DAO=∠FBC；
（2）证明：AE=BE．

Answer 1

分析 （1）连CF，OF．由AB弧长等于AF弧长，O为圆心，根据垂径定理的推论得出点G是BF的中点，OG⊥BF．根据圆周角定理得出CF⊥BF，那么OG∥CF，∠AOB=∠FCB，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠FBC；
（2）连CF，AC，AB．由在同圆中等弧对的圆周角相等得到∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，由同角的余角相等得到∠BAD=∠BCA，所以∠ABF=∠BAD，即BE=AE．

解答 证明：（1）连CF，OF．
∵AB弧长等于AF弧长，O为圆心，
∴点G是BF的中点，OG⊥BF．
∵BC是半圆O的直径，
∴CF⊥BF，
∴OG∥CF，
∴∠AOB=∠FCB，
∴∠DAO=90°-∠AOB，∠FBC=90°-∠FCB，
∴∠DAO=∠FBC；

（2）连CF，AC，AB，
∵AB弧长等于AF弧长，
∴∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
又AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∴∠ABF=∠BAD，
即BE=AE．

点评 本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，余角的性质，准确作出辅助线是解题的关键．