题目内容
12．
如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为$\frac{40}{9}$cm或20cm；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．
分析 （1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；
（3）根据等高面积比等于底的比，即可得到结论．
解答 解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-3x}{30}$
∴x=$\frac{10}{3}$；
（2）假设两三角形可以相似，
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
即有$\frac{3x}{4x}$=$\frac{20}{30-3x}$解得x=$\frac{10}{9}$，
经检验，x=$\frac{10}{9}$是原分式方程的解．
此时AP=$\frac{40}{9}$cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
即有$\frac{3x}{30-3x}$=$\frac{20}{4x}$解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP=$\frac{40}{9}$cm或AP=20cm；
故答案为：$\frac{40}{9}$cm或20cm；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AQ}{CQ}=\frac{2}{1}$，
∴CQ：AC=1：3，AC=30，∴CQ=10=3x，x=$\frac{10}{3}$，∴AP=4x=$\frac{40}{3}$，
∴AP：AB=$\frac{40}{3}$：20=2：3．
点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．
如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的⊙O的切线交OP的延长线于点C．| A． | 1倍 | B． | 一半 | C． | 2倍 | D． | 4倍 |
如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AB于点E．| A． | （-1，-1） | B． | （-1，1） | C． | （-1，-3） | D． | （-1，3） |