Question

5．观察下列各式：$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}$=$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，…
（1）请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$
（2）请利用上述规律计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$
（用含有n的式子表示）
（3）请利用上述规律解方程：$\frac{1}{（x-2）（x-1）}$+$\frac{1}{（x-1）x}$+$\frac{1}{x（x+1）}$=$\frac{1}{x+1}$．

Answer 1

分析 （1）观察已知等式得出规律，写出即可；
（2）利用得出的拆项规律得出结果即可；
（3）分式方程利用拆项法变形后，求出解即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$（答案不唯一）；
故答案为：$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）原式=$\frac{n}{n+1}$；
故答案为：$\frac{n}{n+1}$
（3）分式方程整理得：$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{1}{x+1}$，
即$\frac{1}{x-2}$=$\frac{2}{x+1}$，
方程两边同时乘（x-2）（x-1），得x+1=2（x-2），
解得：x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．

点评 此题考查了解分式方程，约分，以及列代数式，弄清拆项的方法是解本题的关键．