Question

13．如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E是边AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG=DF，连接EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．
（1）判断△ABC的形状（按照内角大小进行分类），并说明理由；
（2）请你连接EG，并求证：EF=EG；
（3）设AE=x，CF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）结论：△ABC是直角三角形．根据勾股定理逆定理证明即可．
（2）如图1中，连接EG．根据垂直平分线的判定定理即可证明．
（3）如图1中，由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF²=（8-x）²+y²，EG²=x²+（6-y）²，根据EF=EG，可得（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，由此即可解决问题．
（4）如图2中，分两种切线讨论即可．①当BF=DB时．②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥BC于H，想办法求出y的值，再利用（3）的结论即可解决问题．

解答 解：（1）结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵BC=6，AC=8，
∴BC²+AC²=36+64=100，又∵AB²=100，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

（2）如图1中，连接EG．

∵DG=FD，DF⊥DE，
∴EF=EG．

（3）如图1中，
∵D是AB中点，
∴AD=DB，
在△ADG和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADG=∠BDF}\\{DC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BDF，
∴∠GAB=∠B
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，∠CAB+∠GAB=90°，
∴∠EAG=90°，
∵AE=x，AC=8，
∴EC=8-x，
∵∠ACB=90°，
∴EF²=（8-x）²+y²，
∵△ADG≌△BDF，
∴AG=BF，
∵CF=y，BC=6，
∴AG=BF=6-y，
∵∠EAG=90°，
∴EG²=x²+（6-y）²，
∵EF=EG，
∴（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，
∴y=$\frac{4x-7}{3}$，（$\frac{7}{4}$＜x＜$\frac{25}{4}$）．

（4）如图2中，

①当BF=DB时，6-y=5，
∴y=1，1=$\frac{4x-7}{3}$，
∴x=$\frac{5}{2}$，即AE=$\frac{5}{2}$．
②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥BC于H，则DF=FB=6-y，
∵∠ACB=90°，D是AB中点，
∴DC=DB=5，
∵DH⊥BC，BC=6，
∴CH=BH=3，
∴FH=3-y，
∵DH⊥BC，由勾股定理可得DH=4，
在Rt△DHF中，（6-y）²=4²+（3-y）²，
解得y=$\frac{11}{6}$，
∴$\frac{11}{6}$=$\frac{4x-7}{3}$，
解得x=$\frac{25}{8}$，即AE=$\frac{25}{8}$，
综上所述，AE的长度为$\frac{5}{2}$或$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查三角形综合题、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．