Question

10．如图，?ABCD中，E为AB的中点，F为AD的中点，且CE⊥AB，若AB=4，CE=8，则EF的长为5．

Answer 1

分析 延长CD，EF相交于点H，由平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD=4，AD=BC，得出∠HDF=∠A，由ASA证明△DHF≌△AEF，得出DH=AE=2，HF=EF，求出CH=CD+DH=6，证出∠ECD=90°，由勾股定理求出EH，即可得出结果．

解答 解：延长CD，EF相交于点H．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD=4，AD=BC，
∴∠HDF=∠A，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴BE=AE=2，AF=DF，
在△DHF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HDF=∠A}&{\;}\\{DF=AF}&{\;}\\{∠DFH=∠AFE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△AEF（ASA），
∴DH=AE=2，HF=EF，
∴CH=CD+DH=6，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴EH=$\sqrt{C{E}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴EF=$\frac{1}{2}$EH=5；
故答案为：5．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．