Question

16．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，其中点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3，4），点M，N分别是OA，BC边上的动点，且OM=BN，过点N作NP⊥BC于点P，连接MP，设OM=m（0＜m＜3）
（1）求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若△MPA是等腰三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据PG和OG的长度即可求得P的坐标；
（2）△MPA为等腰三角形，则PM=PA或PM=MA或PA=AM即可，分别求m的值即可．

解答 解：（1）延长NP交OA于G，如图所示：
∵NP⊥BC，四边形OABC为矩形，
∴PN⊥OA，四边形ABNG为矩形，
∵OM=BN，OM=m，
∴BN=m，CN=OG=3-m，
∵∠ACB=∠PCN，∠ABC=∠PNC=90°，
∴△CPN∽△CAB，
∴$\frac{PN}{AB}$=$\frac{CN}{CB}$，
∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（3，4），
∴AB=4，BC=3，
∴PN=$\frac{4}{3}$（3-m），
则PG=NG-NP=4-$\frac{4}{3}$（3-m）=$\frac{4}{3}$m，
∴P点的坐标为 （3-m，$\frac{4}{3}$m）；
（2）△MPA为等腰三角形有以下三种情况：
①当AP=PM时，AG=MG，
∵四边形ABNG为矩形，
∴AG=BN=m，
MG=OA-OM-AG=3-m-m=3-2m，
∴3-2m=m，
解得：m=1；
②当AM=AP时，则AM=3-m，AP=$\sqrt{A{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$=$\frac{5}{3}$m，
∴3-m=$\frac{5}{3}$m，
解得：x=$\frac{9}{8}$；
③当PM=AM，则AM=3-m，PM=$\sqrt{M{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\sqrt{（3-2m）^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$，
∴3-m=$\sqrt{（3-2m）^{2}+（\frac{4}{3}m）^{2}}$，
解得：m=$\frac{54}{43}$；
综上所述：m=1或$\frac{9}{8}$或$\frac{54}{43}$时，△MPA为等腰三角形．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要进行分类讨论，才能得出结果．