Question

12．已知：P为正方形ABCD内一点，△ABP绕点A顺时针旋转后得到的△ADM．
（1）画出△ADM；
（2）连接PM，试说出△APM的形状，并说明理由；
（3）PA=1，PD=$\sqrt{7}$，PB=3．求∠APD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得△ADM是△ABP绕点A顺时针旋90°后得到的，继而可画出图形；
（2）由旋转的性质，可得：∠PAM=∠BAD=90°，PA=PM，则可得△APM是等腰直角三角形；
（3）由勾股定理的逆定理，易证得△MPD是直角三角形，继而求得答案．

解答 解：（1）如图，△ADM是△ABP绕点A顺时针旋90°后得到的．

（2）△APM是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
根据旋转的性质：∠PAM=∠BAD=90°，PA=PM，
∴△APM是等腰直角三角形；

（3）∵在Rt△PAM中，AM=PA=1，∠APM=45°，
∴PM²=AM²+PA²=2，
∵由旋转的性质：PD=$\sqrt{7}$，DM=PB=3，
∴PM²+PD²=DM²，
∴∠MPD=90°，
∴∠APD=∠APM+∠MPD=45°+90°=135°．

点评 此题考查了旋转的性质、正方形的性质以及勾股定理的逆定理．注意证得△APM是等腰直角三角形，△MPD是直角三角形是关键．